日本蕎麦協会によると違いの基準は汁ということになっています。
ざるそばにはざる汁、もりそばにはもり汁が使われ、ざる汁にはみりんが入っています。江戸時代はみりんがすごく高価なものでしたから、ざるそばの方がちょっと高級です。
これには諸説ありますが、もりそばは、せいろにそばを高く盛り上げる形、ざるそばは竹ざるに盛って出すことの見た目の違いだったのが、明確に違いをつける為にざるそばの汁にコクを出したのだそうです。
地域、店舗によっては、ざるそばには「一番粉」、もりそばには「二番粉」
というように麺の原料によって違いを分けている所もあります。